2024高考数学二轮专题复习分册一专题七函数与导数第三讲函数与导数微专题2不等式证明问题.doc
1、微专题2不等式证明问题3.2021新高考卷已知函数f(x)x(1lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blnaalnbab,证明:20时,f(x)ln (n1)1证明单变量不等式的方法(1)利用单调性证明单变量不等式一般地,要证f(x)g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)f(x)g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式若F(a)0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可(2)利用最值证明单变量不等式利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)g(x).证明技巧:先
2、将不等式f(x)g(x)移项,即构造函数h(x)f(x)g(x),转化为证不等式h(x)0,再次转化为证明0,因此,只需在所给的区间内,判断h(x)的符号,从而判断其单调性,并求出函数h(x)的最小值,即可得证2证明双变量函数不等式问题的策略(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式(2)整体换元对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明巩固训练22023河北张家口一模已知函数f(x)(2x1)e2xax31在区间(0,)上有两个
3、极值点x1,x2.(1)求实数a的取值范围;(2)证明:.微专题2不等式证明问题提分题例3(1)解析:函数的定义域为,又f1lnx1lnx,当x时,f0,当x时,f0,故f的递增区间为,递减区间为.(2)解析:因为blnaalnbab,故ba,即,故ff,设x1,x2,由(1)可知不妨设0x11.因为x时,fx0,x时,fx0,故1x22,若x22,x1x22必成立若x22,即证x12x2,而02x2f,即证:ff,其中1x22.设gff,1x2,则gfflnxlnln,因为1x2,故0x0,所以g0,故g在上为增函数,所以gg0,故ff,即ff成立,所以x1x22成立,综上,x1x22成立设x2tx1,则t1,结合x1,x2可得:x1x2,即:1lnx1t,故lnx1,要证:x1x2e,即证x1e,即证lnlnx11,即证:ln1,即证:lntlnt1,则Sln1lntln,先证明一个不等式:lnx.设ulnx,则u1,当1x0;当x0时,u1时,ln,故S0恒成立,故S在上为减函数,故SS0,故lntlnt0成立,即x1x2e成立综上所述,2e.例4(1)解析:当a1时,f(x)xexex(x1)ex,f(x)ex(x1)exxex.令f(x)0,得x0,当x0时,f(x)0,f(
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