1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.(2022广西南宁三中二模)已知椭圆C:=1(ab0)过点(0,1),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=k(x+1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,过点A,B作直线l:x=-2的垂线,垂足分别为M,N,G为MN的中点,F为椭圆C的左焦点.求证:四边形AGNF为梯形.2.已知直线l:y=x+m交抛物线C:y2=4x于A,B两点.(1)设直线l与x轴的交点为T.若=2,求实数m的值;(2)若点M,N在抛物线C上,且关于直线l对称,求证:A,B,M,N四点共圆.3.已知椭圆C:=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;
2、(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.4.(2022广西桂林二模)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)为圆C1上一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,A,B分别为切点.(1)当x0=时,求切线PA,PB的方程;(2)求证:存在两个x0,使得PAB的面积为.5.已知椭圆C:=1(ab0)的右焦点为F,短半轴长为,M为椭圆C上一点,|FM|的最小值为2-.(1)求椭圆C的标准方程及离心率.(2)若过点P(0,4)的直
3、线l与椭圆C相交于A,B两点,试问:在y轴上是否存在异于点P的定点Q,满足?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知等轴双曲线E:=1(a0,b0)的左顶点A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,若ABC的面积为+1.(1)求双曲线E的方程;(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,求的取值范围.答案:1.(1)解:由已知得解得故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)知,椭圆C的左焦点F的坐标为(-1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),则点M(-2
4、,y1),N(-2,y2),G.所以kAG=,kFN=-y2.因为直线y=k(x+1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,所以y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),因为直线y=k(x+1)(k0)与直线l:x=-2不平行,所以要证四边形AGNF为梯形,只需证AGFN,即证=-y2,即证y1+3y2+2x1y2=0,即证k(x1+1)+3k(x2+1)+2x1k(x2+1)=0,整理得k3(x1+x2)+2x1x2+4=0.又k0,所以只需证3(x1+x2)+2x1x2+4=0.由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以3(x1+x2)+2x1x2+
5、4=3+2+4=0.所以四边形AGNF为梯形.2.解:由得y2-4y+4m=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=4m.因为直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以=16-16m0,得m1.(1)因为直线l与x轴的交点为T,所以T(-m,0).由=2,得y1+2y2=0,所以4+y2=0,解得y2=-4,从而y1=8.因为y1y2=4m,所以4m=-32,解得m=-8.-81,故实数m的值为-8.(2)证明:设点M(x3,y3),N(x4,y4),因为M,N两点关于直线y=x+m对称,所以=-1,所以y4=-4-y3.又+m,于是+m,解得x4=-4-2m-x3.又点N在抛物线C上,于是(-4-y3)2=4(-4-2m-x3
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