2024高考数学二轮专题复习分册一专题七函数与导数第三讲函数与导数微专题3函数的零点个数问题.doc
1、微专题3函数的零点个数问题1.已知函数f(x)3lnxx22x3ln3,求方程f(x)0的解的个数2若f(x)lnxkx(kR)有两个零点,求k的取值范围5.2022全国乙卷已知函数f(x)ax(a1)lnx.(1)当a0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围6.2023黑龙江哈师大附中三模已知f(x)exsinxx.(1)若g(x)(0x),证明:g(x)存在唯一零点;(2)当x(,)时,讨论f(x)零点个数1函数零点个数问题的解题策略(1)直接法:直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题(2)分离参数法:分离出
2、参数,转化为ag(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图函数零点的个数问题即是直线ya与函数yg(x)图象交点的个数问题只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可2根据函数零点的个数求参数范围的方法(1)分离参数(ag(x)后,将原问题转化为yg(x)的值域(最值)问题或转化为直线ya与yg(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解;(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解巩固训练32023广东佛山模拟已知函数f(x)lnxsinx.(1)求函数f(x)在区间1,e上的最
3、小值;(2)判断函数f(x)的零点个数,并证明巩固训练42023河南开封三模已知函数f(x)lnxxm,(m2.微专题3函数的零点个数问题保分题1解析:因为f(x)3lnxx22x3ln3(x0),所以f(x)x2,当x(0,3)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(3,)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)maxf(3)3ln363ln30,因为当x0时,f(x);当x时,f(x),所以方程f(x)0只有一个解2解析:f(x)lnxkx有两个零点,可得k有两个实根令h(x),h(x).令h(x)0,得0xe;令h(x)e,h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减h(x)maxh(e).当x(e,)时,x0,lnx0,所以h(x)0,又h(1)0,x(0,1)时,h(x)0.h(x)大致图象如图所示,若直线yk与yh(x)的图象有两个交点,则0k0),则f(x).当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0时,xlnx0,所以方程a在(0,)上恰有一个解令g(x)(x0),则g(x).令h
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